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はじめに

運動量の内容について、問題解法にまつわる知識から実際の問題の確認までを行っていきます。

今回のテーマで扱う問題は、数研出版『2020実践重要問題集』の40の衝突後動く台に乗る物体の問題です。この問題を通して、

 

大学入試問題のどのような場面において、運動量にまつわる知識が活きてくるのか?

であったり、

 

なぜ運動量と力積の関係で問題を解かなければいかないのか?

と言った理由を学ぶことによって、自ずと解法の必然性が見いだせるような内容になっています。運動量にまつわる基礎知識が定着している人は、問題の解法に進んでください。

 

問題演習に関わる前提知識の確認が必要な人は、そのまま次の主題1へ進んでください。

主題1.運動量の基礎

この項目では、大学入試問題を解く上での前提となる知識の確認を行っていきます。

要点資料は、以下より閲覧およびダウンロードできます。

今回は運動量についてお話をします。

ところで運動量とは?

と言いわれると、学習済みの方からすると、

なんだよ。mvじゃないか。質量に速度を掛けたものだよ。

確かにその通りですが

それはいったい何を表しているのでしょうか?

運動量って何? 

と聞かれた時に、mvと答える受験生が多いわけです。

だからそのmvは何なのか?

そう聞き直すと

いや先生、mvはmvで・・・ 質量に速度をかけたものですよ。

だから、それは何なの?

って聞くと…

いやっ…運動量です

そんな感じで会話が無限ループしてしまうわけです。

 簡単に言いましょう。

運動量とは、運動の激しさを示すものです。

という風な捉え方がちゃんとできるかどうかが大切です。

 そう言われると、

先生ちょっと待ってください、じゃあ1/2mv2。あれはいったい何なんですか?

 

1/2mv2  運動エネルギー。

mv 運動量。

どちらも運動の激しさを表していると言っても問題はなさそうです。

それでは、この両者に一体どのような違いがあるのか。

そういったところを理解していかないといけません。

1.運動量と力積

ここでは、運動量と力積の関係について学習します。

まずここに質量mの物体を置いてみます。

滑らかな床の上と考えてもらえれば結構です。そこに、後ろから僕が手で、ぎゅっと押したと考えてみましょう。

この物体を力Fでぐっと押したとします。力とは運動形態を変化させるもので、質量mの物体に、力Fが加わったわけですから、当然この物体は右向きに動き始めます。

止まっていたものがどんどん速度を上げていきます。

ですから、そこには加速度が生じます。

これは完全に物理基礎の復習になります。そうしますと、ニュートンの運動方程式が成立します。

さぁ、みなさん。運動方程式はどうやって書くのですか?

あぁ、わかってる。ma=Fだ。

なんて書いたらダメですよ。物理学には、必ず意味がありますからね。

今、質量mの物体が加速度aで動き始めたんです。どうしてですか?

物理とは、物の理(ことわり)と書くわけですから、そこにはかならず理由があります。

運動方程式の意味(和訳)
質量mの物体が加速度aで動きました。それは、力Fのせいです。

こういう意味ですね。それが運動方程式 ma=F。すなわち、力Fがどちらかというと結果なんです。

質量mの物体が加速度aで動いちゃいました。それは、力Fが加わったためです。原因があるから結果が生じた。

こういうのを因果関係よんでいますね。

ですから、maとFというのが互いに釣り合っている!」という意味とは違います。

質量mの物体に加速度aを生じさせたのは力Fである!

と、和訳できることが大切になってきます。

 しかし、これでは運動量と力積の関係にはなっていません。皆さんご存知の通り、運動量はmvで定義をされています。じゃあ、これ(ma=F)ではまずいですね。しかし、加速度というのは、もう一つ定義を持っていました。それは、

加速度の定義
単位時間あたりにどれくらい速度が変化したか。

1秒間にどのくらい速度が増加したか?

これが加速度の定義です。それでは、ここで式を書いてみましょう。加速度は、どう書けるか…

加速度は1秒間当たりの速度の変化ですから・・・

a=Δv/Δtと書くことができます。ですから、これを代入してみましょう。質量mの物体に加速度aを生じさせたのは、力Fですよ。

さぁ、何でこのような式に変形したのかわかってもらえると思います。

mvを作りたいのですよね。

そうしますと、ここにFが出てきて、ここにΔtが出てきます。

そこで、両辺をΔt倍してみると、mΔv=FΔt となります。

これは、重要な式です。

ちょっと運動方程式を変形させただけですが、とても重要です。

 

運動量と力積について

さぁ、それでは、mΔv=FΔt という式が出てきましたが、

大もとは何でしたか?

因果関係を表す、ma=Fでしたね。それをちょっと変えただけですよね。

ということは、その意味を失っていないはずなんです。

そうすると、ここを見てください。

これ(mΔv)は運動量の変化量を表しています。

質量は変わるわけないですからね。

一つの物体に力加えただけですから。ここの部分(mΔv)というのは、運動量の変化を表しているわけです。

運動の激しさが変わったよ。

という訳です。もともと物体は止まっていました。そこに力が加わったからvという速さになったわけです。

元々は運動量がゼロだったのに、mvになりました。誰のせいですか?

こいつ(FΔt)ですか。これ(FΔt)はなんでしょう?

力に時間がかけてある…

これを僕たちは、力積と呼んでいます。 

これは覚えないといけない用語なんですが、これだと単に

運動量の変化は力積に等しい

になってしまうんですね。

それだけでは不十分です。

それは物理じゃないです。意味がわからないといけないです。

だから力積って何ですか?

もう一度行きます。止まっていたんです。そこに力が加わると、速さvになったわけです。誰のせいですか。ここ(FΔt)に原因があるわけです。

力Fですよ!

とは、書いてないですね。力FにΔtが掛けてあります。

 

少し戻ります。ここです。

これは、何の時間ですか。

分子にある速度が変化しているから、速度が変化している時間ですよ。

ということは、ある力FがΔt秒間、働いたために、こんな風になっちゃったってことです。力が働いたから、こうなったんじゃないですよ。

運動方程式に戻ります。

力Fが働いたから、質量mの物体が加速度aで動き出した。

こちらはそれでいいんです。しかし、こちらはそうはいきません。

 こちらは力だけではないです。どう解釈すればいいのか。

力Fがt秒間働いたためにmvに変化した。

これを「力の時間的効果」と呼んでいます。

力の距離的効果と力の時間的効果

 

こうやって考えると、だんだんと頭の中で理屈がわかってきたんじゃないでしょうか…??

 そこでですね、参考として、

質量mの物体が止まっています。ここに力を加えました。力を加えることによって、この辺り(距離x[m])まで移動した時に速度vに変化した。

同じ物体です。力Fを加えて「すーっっと」。左側から右側まで行く時に、ずーっと力Fが加わっているわけです。

それでは、いきます。物理基礎の復習です。

左側から右側までの距離をxと置きます。

最初物体は止まっていました。それが距離xだけ動いて速度がvになった。これだけの距離に力Fを、が~っと加えたわけです。

力の距離ですか…。

それを仕事っていいましたね。

物理基礎の範囲です。物体に仕事をしたせいで、こいつ(左側の物体)がこんな(右側の物体)になっちゃったんです。

仕事をすると物体に増えるのは何ですか…。

それは…能力。エネルギーです。

最終的には1/2mv2になったんですね。運動エネルギーは物理基礎で学んだものでした。一番最初は、1/2m•02ですよね。止まってましたから。

運動エネルギーがこんな(1/2mv2)に増えちゃったんです。誰のせいですか?

力がxだけ働いたからです。

ということで、

運動エネルギーに変化をもたらしたのは仕事である。

それでは、こっからここまでの所要時間をtとすると、どんな関係があるか。こんな関係になるんです。

わかってもらえたかなー。

力がt秒間働いたから運動量がこれだけ変化した。
力がxだけ働いたから、運動エネルギーがこれだけ変化した。

(運動量と力積の関係)が力の時間的効果ですから、(運動エネルギーと仕事の関係)は、力の距離的効果です。

私は、中学生の頃は卓球部だったのですが、飛んできたピンポン球をラケットで打ち返す時に、ラケットをこう傾けて、カンカンカンと、ピンポン球を打ち返すんです。

そうすると、速く鋭い球を相手のテーブルにはじき返すことが出来るんです。この時に、ラケットを傾けないで、打ち返そうとすると、ピンポン球がテーブルを飛び越えてしまいます。

少し練習したらすぐ出来るようになるんですが、球の返し方がわからないと、鋭い球を打ち返すことが出来ないんです。

だから、素人だと、温泉卓球みたいに、ピンポン球をすくい上げるようにぽよよ~んとした玉しか返せないわけですね。

 

それでですね。私が友人とテニスをやると、卓球部の時の感覚でついやってしまうものですから、ラケットをかぶせながら飛んできたボールを返そうとするわけですね。

 そうするとね、ネットすら通り超えられず、ボールが「ぽとんっ!」と地面に落ちてしまうわけですね。

それで、テニスが上手な友だちの真似をしてみるわけですが、友人のスイングを見ていると、こうラケットの面を下に構えた状態でボールをとらえながら手首のスナップをきかせながら、ボールとラケットの接触時間を稼いでいるんですねぇ。

何が言いたいかわかりますか??

ボールを返すのは力ではないんです。

私は、大学時代にアメリカンフットボール部に所属していたから、一般の人よりは力に自信があるわけですが、力任せにフルスイングしてもボールは、遠くに飛ばないわけです。

 ボールと接触したときに、ラケットとボールを接触させて力を加える時間を稼ぐ、もしくは、力を加える距離を稼ぐことで、鋭いボールが打てるわけですねぇ。鋭いボールとはつまり、運動の激しさのことですね。運動量、運動エネルギー。そして、力の時間的効果と力の距離的効果です。

  

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