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2.運動量保存側

ここでは、運動量保存側の成りたちについて確認します。

 

さぁ、それでは、2つ目の運動量保存則について、やっていきましょう。

 

運動量と力積の関係がわかってもらえれば、どうってことないですね。

今から例を挙げてを考えてみたいと思います。

衝突という現象を考えてみましょう。

まぁ、実際には・・・そうですね、ビリヤードとかね、そういうようなことを思い浮かべてもらえばいいのでしょうが・・・

ビリヤードはちょっと大変なので、正面衝突でやりたいと思います。

■衝突の状況設定

まずは、衝突前ですねぇ・・・、ここに物体があると。
それがv0という速度であるとします。

それで、ここに、そうだねぇ、
止まっているとでもしときましょうか。

そして、質量は名前をつけておきましょう。
こちらをmAで、こちらをmBと…

これが転がってきてガンっとぶつかる。
その後、どうなったか…

Aの物体はvAになったよと。mBの物体はvBという速度で動き出したよと…。

 

こういう風に考えてみましょう。

さぁ、やってみましょうか。

これ(左)が、衝突直前ですねぇ。これ(右)が衝突直後という風に考えた訳ですねぇ。

■衝突前
■衝突後 

そうだねぇ…、Bだけで考えてもいいのですが・・・。
これは止まってたんでしょ。
それで衝突したら動き出します。

ということは、何か力が働いたんですよ!

 

(Aの方)v0で動いていたんでしょ。
(衝突後は)v0じゃないですよねぇ。

ということは、何か力が働いたんですね。

それならば、その力をちゃんと明確にしなければなりません。

 

では、いったいどんな力が働いたんだろう。

という訳です。

が~んとぶつかった時に働いたんですよね。接触力が。

 

ぶつかった瞬間をここに出します。

いいですか、みなさん。

 

学生さんは運動量保存則を考える時に、衝突前の画があって、衝突後の画があって、

先生簡単だよ。mAv0=mAvA+mBvBだよ!

って、よく口にします。

 

確かにそうです。結論は。

 

しかし、何でそれが成り立つのかということがわからなければいけないんです。
違いますか?

 

だから、その原因となった力を探らないといけなんです。じゃあ、ぶつかった時に力は互いに働いたはずです。

 

だから、これから、ぶつかった瞬間を書きましょう。

 

ところが、力を書く時に気をつけないといけないのが、ぶつかった瞬間にはたらく力は接触力ですから、作用反作用の法則ですねぇ~。

Bには、こんな力が働いたでしょうが・・・、

 

Aには同じ大きさで反対向きに、こんな力が働いたはずです。

力が働いている以上、速度が変わっているのを見たらわかると思いますが、加速度があるはずです。

全部右向きを正としましょう。

そうすると、このaAってのは負でしょうね、きっと。
減速するでしょうからね。
aBっていうのは正でしょうねぇ。

■運動方程式の立式

さぁ、それでは続けて行きましょう。

ここ(青い部分)で運動方程式が立てられますね。

ここ(赤い部分)で運動方程式が立てられますね。

では、立ててみましょう。

運動方程式は、

質量mAの物体に加速度aAを生じさせたのは、逆向きの力F
それに対して、
質量mBの物体に加速度aBを生じさせたのは、力F

ですねぇ。

 

難しくないですよ。これで良いでしょう。

ところがですよ。僕たちは、加速度の関係が欲しいんじゃないですよ。

運動量の関係が欲しいんですよ

それは、前回、力積のところでやりましたね。

 

どうですか。

あぁ~、そういうことやったなぁ、さっき。

それでは、皆さんに質問です。

別に当てるわけじゃありませんからね。

でも、ちゃんと考えてくださいよ。

何でこれ、Δtに添え字が無いんですか?? これ(赤い〇の部分)。

ΔtA、ΔtBじゃないんですか。何でΔtなんですか。これ。

今みたいなところを誤魔化されてはいけません。

本来であれば、ここにAとかBとか入るはず。でも入れてないんです。

なぜか…?

同じだからです。

Δtって何ですか?

それは加速度が生じた時間です。

加速度が生じた時間…

ほら、力が働いた時間です。

力が働いた時間ってことは、接触時間ですねぇ。

あっ、んじゃぁ、同じだぁ。

ほら簡単だったでしょ~。

でもね、理由を考えるのと考えないのとでは、大違いなんですよ。

こうやって、何がわかるかというと、力は互いに逆向きだけど、同じ大きさなんです。時間Δtも同じなんです。だから、同じもの集めてみる。

同じものを集める…??

Δt倍するわけです。

前回やりましたね。今回もやってみましょう。

こうですね。

じゃあ、行きます。ここ(青の枠内)をよ~く見て下さい。

(Aに関する式の右辺は)どのぐらいの力積が働いたか、(Bに関する式の右辺は)どのぐらいの力積が働いたか、

(ABいずれの式も)どのぐらいの力の時間的効果があったか!?

ということが書いてある。

FΔt、FΔt。大きさが同じです。だけれど逆向きなんです。

だから、2式の和をとってみるんです。

それじゃ、今、青色の線で囲んだところを足すと、これはゼロですねぇ。ということは、まず左辺同士を足すと、mAΔvA+mBΔvB

右辺同士を足すと…、ゼロ。

いいですねぇ。和訳してみましょうか。

Aの運動量の変化と、Bの運動量の変化をトータルしてやるとゼロである。

 

だから、どういう意味ですか?

 

運動量は変わっていないという意味ですねぇ。

■運動量保存

 

いいですかぁ。こういう時に、

なぁるほどぉ~

って思っちゃだめですよ。

私は、小学生にもわかること言ってるんです。

ちょっとやってみましょう。今の流れを逆から辿っていきます。

 

 

これが成り立つためには、次の2式が成り立たないといけないんです。

 

互いに逆向きで同じ大きさでなければダメなんですよ。

 

しかし、接触時間が同じですから~、(両辺をΔtで割ると)

 

左側の式がーFで右側の式が+Fでなければいけないんでしょ?

 

これを足し算したいんでしょ。ーFとFを足したら、ゼロでしょう。

 

ということはね、最初の図へ行きましょう。

こうやって書いてあるけども、

(2つの力を)トータルしたらいくらですか?

ゼロです!!

要するにね、mAとmBの間でやりとりがあったかもしれないけれどもね、何かね、外から私がガーンっとか、やったとか、そういうのではないんです。

勝手に、2つの物体AとBがやり合っただけです。

だから、外から何も力が働いてないんです。

外から何も力が働いていない。

外から何も力が働いていなければ…、

運動の激しさは変わらないでしょう。

それは小学生にでもわかりますよ。

だから、

1個1個の物体を見たならば、片方に力F、片方にーFということですが、全体としてみたら力が働いていないという意味です。

 

「外から力が働いていないんだから、運動の激しさは当然変わらない。」

 

という事になる。

これが運動量保存則と呼ばれるものなんですねぇ。

 

少しだけ、式を進めてみましょうか?

まぁ、進めるって言ったって、大したことではありません。

このΔvAってあまり好きじゃないですよね?

 

ですから、

このmAΔvAってどうなったんですかぁ??

って言われたら、

最終的にはvAになったんですねぇ。元々v0だったのが…。

それで、mBΔvBはどうなったんですか?

Bになったんですよ。元々0だったのがね。
それがイコールゼロと。

 

これで大丈夫ですね。

 

そうすると、-mAv0とーmB・0を右辺に移項しましょう。

 

これでいいでしょう。

この式の右辺が、物体AとBが一番最初に持っていた全運動量です。

そして左辺が、衝突後に持っている全運動量ですね。

ちゃんとなってますね。

(左辺と右辺が等しいので)運動量は保存される。

以上のことをまとめると。
何もいかにも難しいことをやっているようですが、用語が難しいだけですね。小学生にもわかりますねぇ。

運動量保存則
外から何も力が働かなければ、運動の激しさは変わりません!

って書いてあります。

そんな、当たり前じゃん!

って言われたらおしまいですね。ここなんですよねぇ~。

 

物理というのは、物の理(ことわり)ですよね?

 

当たり前のことしかやってないんです。

でもそれをねぇ、

当たり前じゃないか?

 

って言ったら物理は始まらない。

皆さんもご存知でしょう?
物理ってどこから学問として始まったか。

 

りんごが落ちるところから始まったんですよ。それで、りんごが落ちました。

 

あったりまえじゃないか!?

 

って言ったら物理学は始まっていないんですね。

だから、

それは当たり前っていっちゃいけないんです。
そこには理由があるんです。

地球との万有引力によって、引っ張られたんだ!

だから下へ向かって落ちていったんだ!

 

っていう理由があるわけです。ところが、一般の人たちは、それを当たり前じゃないかって済ませる。しかし、ニュートンは、当たり前…としなかったんです。

何でだろうって、考えたんです。

ここですよ。違いは。

 

ですから、運動量が保存するの、当たり前じゃん。衝突じゃないか。そうやって済ませてはいけない。どうしてっていわれた時に、ちゃんと答えられないといけない。

が~んって衝突したときに、互いに逆向きで同じ大きさの力しか働いていない。瞬間的な力の効果だけども、その時間Δtは互いに等しい。だから、全体としては、何も力が働いていないのと同じだと。だから、mvっていう量はトータルとしては変わらないんだという。

そんな考え方をちゃんと持たなければいけないということになるわけです。

こうやって理屈っぽいことを言うから、一般の人には

物理が難しい!

 

とか、そういう風に言われるのかもしれないですけど、私に言わせると、物理は、ここに書いてあるように、とっても簡単なことをやっているんです。普通の人が聞くと、当たり前じゃないかというようなことをやっているんです。

 

しかし、それを第三者にもわかってもらえる数式というものを使ってやるために、難しく見えてるだけです。

 

だから、

物理が難しいな!

 

と思っている人、

思うように問題が解けないなぁ!

 

と思っている人、

 

たぶん・・・頭の中で和訳が出来ていない。
式と現象を一致させることができていない。

ということですね。

 

そこが「物理が得意になるか、不得意のままで終わってしまうか…!?」
というところの境目

 

と言っても過言じゃないと思います。

さぁ、これで大体、運動量保存則の話は終わりました。

■運動量と力積
■反発係数

 

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